基礎知識

ここでは、余りのある割り算の等式での表し方と、余りによる整数の分類についての説明を行っていきます。

割られる数 = 割る数 × 商 + 余り

13 ÷ 2 という割り算について考えましょう。

小学校で習った答え方であれば、

$$\begin{array}{rcl} 13 \div 2 &=& 6 ~ . . . ~ 1 \end{array}$$

となりますが、高校数学では

$$\begin{array}{rcl} 13 &=& 6 \times 2 + 1 \end{array}$$

のように、割り算の計算記号を用いずに、掛け算の計算記号を用いて割り算を表現します。

つまり、

割られる数 = 割る数 × 商 + 余り

という形で割り算を表現します。

一つ簡単な例題を解いてみましょう。

例題

解答

$k,l$ を整数とすると、$a,b$ はそれぞれ次のように表せる。

$$\begin{array}{rcl} a &=& 5k + 2 \\\\ b &=& 5l + 3 \\\\ \end{array}$$

これらを $2a+3b$ に代入すると、

$$\begin{array}{rcl} 2a+3b &=& 2(5k + 2) + 3(5l + 3) \\\\ &=& 10k + 4 + 15l + 9 \\\\ &=& 10k + 15l + 13 \\\\ &=& 10k + 15l + 10 + 3 \\\\ &=& 5(2k + 3l + 2) + 3 \\\\ \end{array}$$

以上により、$2a+3b$ を $5$ で割った余りは $3$ となる。

余りによる整数の分類

例えば、 ある整数を $3$ で割った余りは $0, 1, 2$ のいずれかになりますが、これらは整数 $k$ を用いてそれぞれ $3k, 3k + 1, 3k + 2$ と表すことができます。

逆に、 $3k, 3k + 1, 3k + 2$ について、 $k$ に $0, 1, 2, \cdots$ と様々な値を代入していくと、

$k = 0$ のとき、 $0, 1, 2$
$k = 1$ のとき、 $3, 4, 5$
$k = 2$ のとき、 $6, 7, 8$
・
・
・

といった具合で全ての整数を表現することができます。

つまり、一般の整数 $n$ は整数 $k$ を用いて、 $n = 3k, 3k + 1, 3k + 2$ と表すことができるということになります。

このことが何の役に立つのか、次の例題を見てみましょう。

例題

解答

$k$ を整数とする。

$n = 3k$ のとき、

$$\begin{array}{rcl} n^2 &=& (3k)^2 \\\\ &=& 9k^2 \\\\ &=& 3(3k^2) + 0 \\\\ \end{array}$$

より、 $3$ で割った余りは $0$

$n = 3k + 1$ のとき、

$$\begin{array}{rcl} n^2 &=& (3k+1)^2 \\\\ &=& 9k^2 + 6k + 1 \\\\ &=& 3(3k^2 + 2k) + 1 \\\\ \end{array}$$

より、 $3$ で割った余りは $1$

$n = 3k + 2$ のとき、

$$\begin{array}{rcl} n^2 &=& (3k+2)^2 \\\\ &=& 9k^2 + 12k + 4 \\\\ &=& 9k^2 + 12k + 3 + 1 \\\\ &=& 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 \\\\ \end{array}$$

より、 $3$ で割った余りは $1$

以上により題意は示された。

整数の割り算と商および余りの説明のおわりに

いかがでしたか？

割り算に関する式は「割られる数 = 割る数 × 商 + 余り」の形で表すということは必ず覚えておきましょう。

また上式の右辺を用いて、余りによる分類を行うことができるという点についても整数問題を解くうえで重要な知識となりますので、身につけておくようにしましょう。

【基礎】整数の性質のまとめ